舞台で踊れない程の怪我って英語でなんて言うの？

get hurt「ケガをする」＝ get injured
badly「（程度を強めて）ひどく」

いわゆる so ～ that SV ...（that 以下なほど～） の構文を利用しています。

回答では１つのセンテンスにしてしまいましたが、もし「名詞のかたまり」として表現したいのであれば以下のような英語がいいでしょう。

injury so bad as to prevent him/her from dancing on the stage（直訳：～が舞台で踊るのを阻害するほどのひどい怪我）

prevent someone from doing「～がdoingするのを妨げる、阻止する」
so ... as to do「to doするほど...な」（...は形容詞や副詞）

参考にしていただければと思います。