turn on が使えると思います。
「携帯電話」は phone と言えます。
例）
Put the battery back in, turn the phone on, and then reinstall our app.
バッテリーを元に戻し、電話の電源を入れ、アプリを再インストールします。
〔Radio Survivor-Oct 18, 2010 より〕
I'm afraid to even turn the phone on.
怖くて電話の電源も入れられない。
〔Hamilton Spectator-Sep 29, 2011 より〕
Please, can you turn on your mobile phone? We need to make a call.
携帯電話の電源を入れてくれませんか？ 電話をかける必要があります。
Don't forget to turn on your mobile phone after the flight.
フライト後は携帯電話の電源を入れるのを忘れないでください。
参考にしてください。
ありがとうございました。
turn on
電源を入れる
でいいと思います。
For some reason, my iPhone won't turn on.
どういうわけだか私のiPhoneに電源が入らない。
昔のテレビチャンネルを「回す」のと同じで "turn" を使っていると思いますが、回さなくても "turn on" で大丈夫です。時代の流れでこの言葉は変わっていく可能性があるのかな～と思いながら使っていってもいいかもしれませんね。
日本 
