この場合の bother は「わざわざ～する、手間をかけて～する」という意味です。
よって Don't bother. で「わざわざそんなことしないで」「そんなことしてくれなくて結構です」といった意味合いになります。
例）
Ａ：Do you want me to call you back later?（あとで電話かけ直そうか？）
Ｂ：No, don't bother.（いや、大丈夫だよ）
ついでに Why bother? も覚えておくといいですね！
これは「どうしてわざわざそんなことするの？」→「そんなことする意味ないでしょう」といった意味合いになります。（こういうのを修辞疑問と言います。）
troubleには「迷惑」「騒ぎ」「心配」などの意味があります。I'm sorry for the troubleは「迷惑をかけてごめんね」という風に訳されることが多くて、たとえば相手を困らせるようなことなどをしてしまったときによく使います。
ちなみに、少しフォーマルなバージョンとしてはI'm sorry for the inconvenience/I apologize for the inconvenience「ご不便をおかけして申し訳ありません」という表現も使うことができます。
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