女らしさを感じて意識しちゃうことってない？って英語でなんて言うの？

"feel like a woman"は直接的な表現です。
"He makes me feel like a woman."というと、『女だと感じさせられる』みたいなニュアンスで、性的なことを示唆する場合が多いです。
セクシーな歌の歌詞などでも見かけますね。

それと比較して、"conscious"は質問で提示されたシーンによりマッチしていると思います。
たとえば、"I suddenly felt conscious when he picked up the heavy box for me."　『彼が私のために重い箱をもちあげてくれて、突然意識しちゃった。』みたいな感じです。直接的に何を『意識』したかを言っていないので、文脈が大事になります。

職場の同僚が、普段と違った少し華やかで女性らしいワンピースを着てきたとき、"I like your dress."とランチタイムに話し掛けたら、照れながら"Everybody's making me feel so conscious today!"と言われました。