got hay fever で問題ないと思います。（ただし質問者様の I get hay fever. は現在形つまり普遍・事実形ですので文法的ミスがあります。）
I've never gotten hay fever before.（一度も花粉症にかかったことない）とネイティヴに対して言ったことがあります。特に間違いなど指摘されませんでした。
「get ＋ 病気」は便利な表現でたいていなんでも言えるはずです。わたしはよく使います。
google検索で調べましたが
I got hay fever. が4,490件。
I developed hay fever. が364件。
でした。
「develop ＋ 病気」の表現は文章中ではけっこうな頻度で見かけます。「...を発症する」という意味合いです。また contract も同様によく見ます。たとえば contract AIDS など。
ネイティヴに訂正されたことは事実ですので、なんらかのニュアンスの違いはあるのかもしれませんね。
ここで述べたことは私の経験に基づく意見ですので、あくまで参考までに☆彡
「花粉症になった」＝ Ive recently started getting hay fever. / I've developed hay fever. / I've suddenly developed a pollen allergy.
私はイギリス人だから現在完了形が一番自然だと思います（アメリカ英語では単純な過去形を使っても大丈夫です）。
「花粉症」＝ hay fever / pollen allergy （pollen＝花粉）
私も日本に来てから花粉症になりました。そういう話をする際にこちらの文章を使います：
My hay fever started after I came to Japan.
I've recently started getting hay fever.
「contract」という動詞は主に伝染病の話をする場合に使います。例えば、インフルエンザ、HIVなどの病気はウイルス（又は黴菌）でうつりますので「contract」を使います。花粉症などのアレルギーや自己免疫疾患(autoimmune disease)の話をする際に「develop」という動詞を使った方が良いです＾＾
日本 
イギリス 
