過度の心労により過呼吸になり、救急病院へ搬送されたって英語でなんて言うの？

英訳①　once in the past は「以前一度」、be overcome with ...は「…に打ちのめされる」、hyperventilate は「過呼吸になる（to breathe much faster than normal and exhale too much carbon dioxide）」という意味です。

英訳②　breath heavily でも「過呼吸」を表すことができます。
rushed to ...は「…に急送される」の意味です。

英訳③　「過度なストレスで、普段通りに呼吸ができなくなり、ERに運ばれました」という文です。
ER は emergency room（緊急治療室）です。

主語は仮に「彼」にしました。「病院に搬送された」の意味するところは通常、救急車で救命センターに運ばれたということなので、搬送先をERにして、taken to ER　としました。受け身にしないで「rushed him to ER」（ERに担ぎ込んだ）としても良いでしょう。過度の心労はhave too much mental stress ではなく、overwhelm　を使いました。単語数を減らせますし、多すぎるものに負けてしまった状態を表すのによく使われる表現だからです。
動詞として使って
over whelmed by mental stress としても良いです。できれば心労の中身をもう少し具体的にworry(心配） fear（恐怖）などと表記できるともっと良いですね。
英文は日本語よりもずっと具体的な記述が求められるんです。時系列に従って

Overwhelmed by the mental stress, he started to have hyperpnoea, and we rushed him to ER.

としてもわかりやすいでしょう。