He swears that he will succeed where Kennedy couldn't.
他に使える言い方を紹介したいと思います：
1) He promises to achieve what Kennedy couldn't.
「彼はケネディが出来なかったことを成し遂げると約束している」という意味です。
「言う」を「約束する」に変えて、promise to achieveは「成し遂げると約束する」となります。
what Kennedy couldn'tは関係副詞として「ケネディが出来なかったこと」の意味です。
ちなみに、元の文では「言っている」となっていますが、英語では現在進行形のHe is promising to...より現在形のHe promises to...のほうが自然に感じます。
2) He swears that he will succeed where Kennedy couldn't.
「彼がケネディが（成功）出来なかったところに成功すると誓っています」という意味となります。
swearはvowと同じ意味「誓う」です。
succeed where Kennedy couldn'tは今回whereを使った関係副詞となり、
「ケネディが成功出来なかったところに成功する」の意味です。
また、似ている言い方なら
He swears to succeed where Kennedy failed.
というのもありますが、failedを使った「ケネディが失敗したところ」は少し強すぎる言い方に感じます。
He commits himself to accomplishing what Kennedy couldn't.
「言っている」なので動詞は say でもいいですが、「政治的な話をするとき」ということなので「約束する」「公約する」という意味合いを持つ動詞表現を２つ挙げました。
vowは「誓う」ですが、政治家が実行に強い意思を示すことを伝えるニュース記事、特に（字数が少ないので）見出しによく使われます。
また、commit oneself to 〜ing は「〜することを確約する」という表現で、〜ingとなっているように、toの後は不定詞ではなく動名詞などの「名詞」が来ます。
「ケネディが出来なかったこと」はどちらも what Kennedy couldn't としましたが、もちろんこの後に動詞（前にでてきたもの、あるいは do）が省略されています。
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