振られてもあきらめないでください。って英語でなんて言うの？

be afraid of ～で「～を恐れる」です。
broken heart は失恋。
Don't be afraid of a broken heart.で、失恋を恐れないで、となります。

There're a lot of XX out there. は、世の中にはXXがいっぱいいる、という意味です。
out there で「外に」というニュアンスが付きます。
すなわち、世間、世の中には、ということですね。
世の中には男性（女性）がいっぱいいるんだから、という慰めの言葉です。
よく使うので、覚えておくと便利ですよ。

そのままで　ということなので、そのままシンプルに直訳しましたm(__)m
Never give up even if she turns you down.
「たとえ断られても決してあきらめないで」

never 「決して～しない」
give up「諦める」
even if「たとえ～でも」
turn down「断る、振る」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)