職場って英語でなんて言うの？

おっしゃる通り、職場を英語というと、my officeやmy workplaceです。

自分の職種のことを具体的にお話ししていれば、病院、保育園、病院はat my school, at my nursery, at my hospital等といえばいいですが、具体的にお話ししていなければ、上記のoffice、workplaceを使って表現できます。
例：
The AC works fine at my office/my workplace.　私の職場ではエアコンは問題なく稼働している。

また、at my workを使って表現することもできます。
The AC is broken at my work.　私の職場ではエアコンが壊れている。
A new boss at my work is very strict! 私の職場の新しい上司はとっても厳しい！

事務系や一般会社の場合は、確かにofficeを使います。
病院や学校などのその他の職場だと、その場所の単語を使います。例えば学校で教師をされているのならばschool、病院だったらばhospital。

３行目のACはair conditioningの略です。

また、上司について話す場合はあえて「職場の」を言わないほうが自然かと思います。職場以外に上司はおそらく居ないからです。

職場 place of work, workplace

私の職場は夏は暑く、冬は寒いです。
My workplace is hot in the summer and cold in the winter.

新しい職場は、建物の38階にあります。
The new workplace is located on the 38th floor of the building.

ボブと私は同じ職場に行きます。
Bob and I go the same place of work.

「職場で」はat work やin one's officeと言います。
例）
I met him at work.
「私は彼と職場で出会った」
I have things to do in my office.
「職場でやることがたくさんあります」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)