あなたに連絡を取るしか方法がなかったのって英語でなんて言うの？

"have no choice but to 〜" は「〜する他に手がない、〜せざるを得ない、〜する他ない」という表現です。"choice" の代わりに "option" を使うこともできます。
"but 〜" は、ここでは「〜以外の(に)、〜を除いて」という意味になります。

"have nothing else to do but 〜" は「ただ〜するしかない、〜する以外に手がない」ということを表します。"else" は「他に」という表現です。

"contact 〜" は「〜と連絡を取る、〜に連絡する」という行為を表します。他に "get in touch with 〜" や "make contact with 〜" と言うこともできます。

You are the only way to get to him/her.
あなたが彼／彼女にたどり着くための唯一の道だったの。

You are the only way to get in touch with him/her.
あなたが彼／彼女に連絡を取るための唯一の道だったの。

という言い方もできます。