「会社を経営する」は "run a company" と表します。他に "manage a company" や "run a business" と言うことができます。
後半部に主語がないのは、前半部の主語(=I)と同じなので省略されている為です。
"no one" は「誰も(一人も)〜ない」という表現です。
"have no one to 〜" で「誰も〜する人がいない」ということを表します。
"take over 〜" は「(義務や責任などを)引き継ぐ、引き受ける」という表現です。ここでは、重複を避ける為に代名詞"it"を使っているので、"take it over" と間に置きます。もしくは "take over my company" と表します。
「私は会社を経営していますが後継者がいません」は英語で "I run a company but I don't have a successor." または "I'm running a business with no successor in line."と表現できます。
"I run a company": 「私は会社を経営しています」。"run"は経営や操作を行うという意味で、ビジネスの文脈でよく使用されます。
"I don't have a successor": 「後継者がいません」。 "have a successor"は経営者、指導者、あるいは所有者などの地位を引き継ぐ人がいることを意味します。
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