よかったらやりとり続けてもいい？って英語でなんて言うの？

"mind" は「嫌だと思う、嫌がる、気にする」ということを表します。ここでは「もしあなたが嫌でなければ」となります。

"continue to 〜" は「〜し続ける」という表現です。他に "keep (on) 〜ing" を使っても良いでしょう。

"keep in touch" は「連絡を保つ、取り合う」ということを表します。
"we communicate with each other"(お互いに連絡を取り合う) と言うこともできます。

"by Line" は「ラインで」となります。"by 〜" は「〜によって」という意味です。

やりとりをLINEでこれから先もされたいので、それがOKかどうか、ですね！
連絡取り合いたいので繋がっていたい、という場合は、
Can we stay in touch?　（連絡取り合っていい？）
つまり、自分側が連絡をとっていたいのでそれがOKかどうかを聞いています。

LINEで、となると、
via LINE　と最後につけます。

Would it be okay that we keep in touch via LINE?
LINEであなたと連絡とっててもいいですか？

こちらからの連絡をLINEでしてもいいかどうかを聞く場合は、
Would it be okay if I contact you through LINE?
LINEで連絡しても大丈夫ですか？