回答
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I have no choice but to apologize.
ミスして謝るしかなかった場合には「謝るしかない」と言いたいなら、英語ではこのようです。
I have no choice but to apologize.
他の例文:
I have no choice but to go to the event.
イベントへ行くしかない。
I have no choice but to study Japanese.
日本語を勉強するしかない。
ご参考までに。
回答
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I have to own up to my mistake
ミスしたから謝るしかないというのは、ミスを認めることです。
責任をとって自分のミスだと言って謝るというのは英語で
'own up to my mistake'