どんなに注意深くして（気をつけて）いてもって英語でなんて言うの？

「No matter how」＝「However」です。 これらの後には形容詞が来ることとなるため、Careful（形容詞）と繋げてNo matter how careful I am〜となります。 例：「どんなに注意していても、物を忘れてしまう」＝「No matter how careful I am, I forget things. 」

「avoid」は「～が起こらないようにしておく」と言う意味です。他に言うと、「避ける」と同じ意味です。「avoid 」は動詞ですが、形容詞の形にしたら「avoidable」と言います。 「inevitable」や「unavoidable」（avoidable の逆の言葉）は「必然」と言う意味です。「～とならないようにどんな対策をしようとしても無理だ」または「～が起こるなんて仕方がない」。ちょっと「運命」みたいな感じですが、普通にはそんなに真剣な話ではありません。