子どもがなかなか寝ないって英語でなんて言うの？

なかなかを just will not で表現します。
寝るは sleepでも伝わりますが、夜に関しては go to bedのほうがより自然です。

「なかなか〜しない」とは違いますが、「なかなか寝ない子」を"a wakeful child /kid" といいます＾＾

"wakeful" とは、「目が覚めている」という意味があり、

「目が覚めている（=wakeful) 子ども(=child/kid)　＝　寝ない子」

という意味になります＾＾

It's always hard to put my child to sleep at night.
夜、子どもを寝かしつけるのはいつも大変だ。
It's always hard to get my kid to sleep.
うちの子を眠らせるのはいつも大変だ。

put to sleep、get to sleep どちらも「寝かしつける」「眠らせる」という意味に使われます。
夜の場合だと、put to bed と言うこともできます（ get to bed も言うかもしれませんがこちらはあまり聞かない）。夜に寝ることを go to bed と言うのが一般的だからです。日本語でいう「床につく」に近いと思います。