〇〇の程度にもよりますって英語でなんて言うの？

「それがどのくらいひどく損傷されているかによります」の意味です。

it depends on～「それは～による」
badly「ひどく」
be damaged「損傷されている」

例）
It depends on how beautiful she is.
「どんだけ美人かによる」

「もし自分の車をぶつけてしまったらすぐに修理しますか？」=
"If I crashed my car, could you repair it soon?

「ダメージの程度にもよるけど、もし目立つような損傷ならすぐ修理します。」=
"It depends on the degree of the damage, but if the damage isn't obvious then I can fix it soon.

「ダメージ」= 「損傷」ですので，英語で訳すと両方とも「damage」になります。
「程度」= (the) extent; (the) degree
「ダメージの程度」= The degree of (the) damage; the extent of (the) damage. ← この例文では，「damage」の前に「the」を言わなくても結構ですが，「degree」の前に必ず「the」を言わないと不完全的な文章になってしまいますので，ご注意ください。
「〜による」= it depends on ~
「すぐに」= soon; immediately
「修理する」= to repair; to fix
「目立つ」= to stand out; to be obvious
「もし」= if

になります。

ご参考までに。