You stay here, and I'll go get something.
あなたはここにいて、私が何か買って来るから。
You can go ahead and start your lesson without me.
私がいなくてもこのままレッスンを始めちゃってください。
代わりに相手のものも買いに行く場合、
What do you want me to get you?
何を買って来てほしい？
と聞いてもいいと思います。
「私が（ドリンクを）買ってくるから座って待ってて！」は I will go (I'll go) buy our drinks so wait here! と言います。すでに席に座っているなら「席で」まで言わなくていいです。「ここで待って」の方が自然。
しかし、相手が立っていて、座って待って欲しかったら I'll go buy our drinks for us so take a seat and wait here! と言います。「あなたが買いに行かなくていいよ」と丁寧に強調することの for us がついた「席に座って待って」の要求が入った言い方です。
「私が買ってきますから、授業を始めていてください。」の文脈があまりわかりませんが生徒が言っている場合なら I'm going to buy X so please start the class without me の方がベストかもしれない。「私がいないのに始めていてください。」と言う意味を伝えます。
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