回答
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I've lost my patient registration card.
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I've lost my patient ID(Identification) card.
【Vocabulary check】
patient：患者の
registration：登録（組織や団体、企業のメンバーシップがあるニュアンス）
identification：識別(身分を証明するというニュアンス。（student identification card
：学生証のように使われます）
少しだけニュアンスが違いますがどちらでも大丈夫です。
「無くしました」のニュアンスは過去形とも取れますが、もしまだ手元に見つかってないのでしたら「無くなってしまってまだないんです」という意味でhave＋過去分詞の完了形をつかうと自然に伝わります。
Take care!
回答
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I've lost my clinic card.
造語かもしれませんが私が以前働いていた会社の外国人は診察券のことをclinic cardと言っていました。
私は海外では診察券は一度も見たことがありません。保険証もなく、病院に行くときはネットから保険証番号をプリントアウトしたものを見せました。
日本に住む外国人は「日本にいるとお財布がカードだらけになっちゃう！」と言っているのをよく聞きます。
日本 
