fell asleep = 無意識に寝る
by accident = うっかり
「最近、寝不足で授業中にうっかり寝ちゃった〜。」と言いたい場合は I haven't been getting enough sleep recently, so I fell asleep during class by accident.という表現が使えます。by accidentは、「うっかり」という意味になりますが、fell asleepですでに「無意識」に寝入るということを伝えているので、by accidentは、お使いにならなくて、どちらでも意味は、通じます。
fall asleep は、sleepという単語に似ていますが、意味が異なりますfall asleep（無意識に寝入る）。例文：
The baby fell asleep in the mother's arms. （赤ちゃんは、お母さんの腕の中で寝入った。）
I can't believe I fell asleep during the professor's lecture. （教授の授業中にうっかり寝てしまうだなんて、自分でも信じられない。）
I fell asleep during class.
授業中に寝てしまいました。
上記のように英語で表現することができます。
fall asleep は「寝落ちする」「気づいたら寝ていた」ようなニュアンスになります。
fell asleep during class で「授業中に寝落ちした」です。
例：
I didn't get much sleep last night and I fell asleep during class today.
昨日あんまり寝れなくて、今日、授業中に寝てしまいました。
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