本音を探るって英語でなんて言うの？

「本当の意図を理解しようとする・・」ということだと思いますので、このような回答文にしました。状況に応じて、”his/her”のところは代えて下さい。 なお、”intent”の代わりに”intention”でもOKです。

「on one's mind 」には「気にかける・思う・考えている」という意味があるので、「Find out what's actually on his/her mind（実際に何を思っているのかを探る）」＝「本音を探る」となります。
相手は何も言わないけれど、何か考えていそうで気になる場合は、
「What's on your mind? 」と直接聞いてみるのもありです。
「Find out what he/she's really thinking （本当に何を考えているのかを探る）」
もそれと似た表現です。