「幸先の良い」に当たる特定の英語はないので、あまり気にせず、簡単に have a good start を使って
I had a good start.
幸先良いスタートが切れた。
で問題ありません。
他には、get off to a good start という形もあります。
どちらの場合も、少し変化をつけるなら、good を promising などに置き換えるといいでしょう。
例：
I hope we can get off to a good start.
幸先の良いスタートを切れると良いな。
こんにちは。
・off to a good start
「幸先のいいスタートを切った」
・bode well
「幸先がいい」「いい前兆である」
上記のような言い方ができます。
【例】
I was off to a good start.
「私は幸先のいいスタートを切った」
This bodes well for our company.
「これは弊社にとって幸先がいい（いい前兆だ）」
ぜひ参考にしてください。
I had a good start.
(アイ ハド アン オースピシャス スタート)
「私は幸先の良いスタートを切ることが出来た」
【解説】
have a ～ start「～なスタートを切る」
を使い、いろいろな言いかたが出来ます。
●have a new start「新たなスタートを切る」
●have a head start「相手よりも有利なスタートを切る」
●have a fresh start「初めからやり直す」
Auspicious=「幸先の良い」
We’ve made an auspicious start.
私たちは幸先良いスタートを切ることができた。
Madeをhadにすることもできます。
例）
We’ve made an auspicious start by winning the first game.
我々は始めのゲームを勝つことで、幸先のよいスタートを切ることができた。
ご参考までに
日本 
アメリカ合衆国 
