出荷可能分から順次発送しますって英語でなんて言うの？

「発送する・出荷する」は make shipment が使えます。

「順次」は in series、in sequence のような表現を使うよりも、「出荷可能分から」つまり手に入ったものはあるだけ送る、という部分を

　whatever becomes available

で表せば、注文の総量を送るまでには何度か要するということがすっきり表せます。
その意味で、shipments と複数にしています。

出荷可能分から順次発送＝準備が出来たらすぐに発送と言う事で　
as soon as it's ready　などを使います。

出荷発送に関しては海外からの船積みなどは shipment, 国内の倉庫からの発送などは delivery または dispatch を使います。