美容院のシャンプー台って英語でなんて言うの？

「美容院のシャンプー台」は、a shampoo basin at the hair salon で通じると思います。

美容院は、hair salon の他にも

beauty shop
beauty salon
hair care salon
hairdresser's salon

などもあるので、人によっては言い方がちがうかもしれませんね^^