put something back in-
ある物を元の場所に戻すニュアンスで、片付ける
Oh, I gotta put the pencil back in my pen case!
あ、鉛筆、筆箱に戻しとかなきゃ！
put something away
"away"はある物を今ある場所から離れたところに置くニュアンスで、片付ける
You need to put your toys away, okay?
おもちゃは片付けておこうね。
tidy/organize
部屋や散らかっているものを片付ける
元の場所に戻すというよりはシンプルに片付けるというニュアンス。
こちらも日常的に使う単語ですので、一緒に覚えてしまうのがおすすめです！
もっと大きな意味での「片付ける」は”cleaning”ですね！
日本では年末に大掃除をする習慣がありますが、
欧米では"spring cleaning"といって春に大掃除をする習慣のある地域もあります。
"I should to tidy up."
「片付けなきゃ」できるだけ直接の翻訳です。"to tidy"は「片付る」に相当し、"I should..."は「私は○○をしなきゃ」という意味を持っている構造となっています。
"I should put things back in order."
また「片付けなきゃ」を言う意味を持っていますが、直接翻訳すれば「モノをオーダーしなきゃ」のようになっています。
参考になれば幸いです。
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ブルガリア 
