communicate は使わないことはないですが確かに、ちょっと違和感感じますね。
もっと距離的なニュアンスが持っている単語は correspond です。お互いがやりとりしている（一歩的ではない）と伝えます。
また、to be in talks with は熟語ですが、ビジネスの関係のやりとりにはよく使います。「交渉している」という意味合いが強いです。
１番目～３番目は全て「やり取りする」という意味です。 ビジネスなどで会社や国と色々と「やり取り」している場合は、１番目の deal with を使います。
例）We're dealing with ○○（←会社名や国名）now.
訳）私たちは今○○と、やり取り（取り引き）しています。
２番目と３番目は使い方が良く似ていて、何か問題や議論が行われていて解決に向かって「やり取り」している場合に使われます。
例）We're taking care of the issue now.
例）We're handling the issue now.
訳）私たちは今その問題にやり取りしています／取り組んでいます。
他にも negotiate（交渉する）や mediate（調停する・和解させる）、compensate（補償する）なども状況によっては「やり取り」に含まれます。
お役にたてば幸いです☆
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