「遠くに引っ越すけど、これからもよろしく」って英語でなんて言うの？

①Keep in touch.　＝　連絡とりあおうね。これからもよろしく。
　keep in touch with ~ = ~と連絡を取り合う
　しばらく会えないときによく使う表現です。

②Don't be a stranger.　＝　また連絡してよ。またね。これからもよろしく。
　Keep in touch とほぼ同じ使い方です。
　直訳すると、「赤の他人にならないで」ですが、離れても気軽に連絡してきていいよ、という意思表示になります。

③Let's get together again.　＝　また集まろう。
　get togetherは、友達などが集まることを言います。keep in touchは、メールやSNSで繋がっておこう、というニュアンスが強いので、本当にまた会いたい人にはこう言ったほうが具体的でいいかもしれません。

※　I'm moving away, but don't be a stranger!
私はここを離れてしまうけど、連絡は取り合おうね！（これからもよろしくね）

参考にしていただけましたら幸いです。

英語では「よろしく」という単語は存在しません。なので完全に訳すことは難しいが、ニュアンスとしては、「連絡取ろうね！」ではないでしょうか。

Let’s stay in touch/let’s keep in touch = 連絡取ろうね！

I’ll be moving away = ここから引っ越す

おっしゃられている内容は、以下のように表現できます(^_^)
I’ll be moving out of town but let’s keep in touch.
「町の外に引っ越しますが、でも連絡は取り合いましょう」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)