太いって英語でなんて言うの？

その「太い」が英語で「thick」か「bold」と言います。

以下は例文です。
太い首　ー　A thick neck
太い字で名前を書く　ー　Write one's name with bold strokes
アイススケートの選手は太くて丈夫なももをしている ＝　Ice skaters have very thick and strong thighs
太いふしくれだった幹の古木　ー　An old tree with a thick, gnarled trunk
太い指　ー　A thick finger

参考になれば嬉しいです。

幹の太い木を例に挙げるのであれば、thick treeという言い方が自然だと思います。
thickは「厚みがある・太い」という意味です。

fatはずんぐりむっくりしているとか、丸々と太っているという印象で、あまり木に対しては使われないように思います。
またこれは（特に人間に対しては）侮蔑的なニュアンスを含む場合が多いです。

木の種類や成長度合いによっては、異様にふっくらと太った感じに幹が成長するものもあり、そういうものを指して擬人的に「デブの木」のようなニュアンスでfat treeと言うことはあります。

bigは幹の太さに関わらず大きいことを表します。
たとえ幹が細くとも、伸びる枝や広がる葉が広範囲に及ぶようなものであれば、big treeと言うことができます。

人に対しては、太った人をbig manなどと言うこともあります。

対象や捉え方によって使い分けることができるわけですね。

ご参考になれば幸いです。