今日、派遣会社に登録してきました。って英語でなんて言うの？

登録することは「Register」と言います。

また、派遣会社は「Temp agency」と呼びます。

したがって、「I went to register with a temp agency today」を提案しました。

派遣会社はemployment agencyの他に、staffing agencyやtemp agencyと表現できます。
agencyは可算名詞なので、複数の場合はagenciesとなります。

「登録する」は、registerの代わりにsign upとしてもよいでしょう。

例）I went to ABC staffing agency to sign up today.（今日はABC派遣会社に登録に行ってきました）