悩みや心配事があれば早めに教えてね　って英語でなんて言うの？

少しお決まり文句の表現です。
please let me know 「私に教えてね」
if there is something I can help you with 「私があなたを手伝える何かがあったら」

これに、今回質問者さんが言われた「すぐ」を表すsoonを組み込ませて、

Please let me know soon if there is something I can help you with.
私で、手伝えることがあれば、すぐに教えてね。

という意味です。

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然でよく聞かれる表現を紹介します。

(1) (仕事などで）
- If there are any issues whatssoever, please don't hesitate to contact me asap to let me know.
何か困っているところあれば（何でもね）、早めに私に連絡することを遠慮せずに、それについて知らせてくださいね。

(2) (仕事などで）
・If you encounter any trouble whatsoever, please let me know as soon as possible.
何かトラブルなどにあったら（何でもOK）。早めに知らせてくださいね～

(3) (個人の心理がメインとなり）
・If there's anything troubling you, please do let me know^^
何かあなたに迷惑をかけている問題があれば、必ずしも教えてくださいね。
(((この分の「DO let me know」は「let me know」を強調します)))

お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。

Keep me updated onは直訳すると、「（人などに）最新の情報を与え続ける」や「(人などに）常に新しい情報を連絡し続ける」のような意味になります。
updateは、「更新」、あるい「更新する」を意味し、名詞と動詞としても使うことができます。もともと、コンピュータやインターネット関連でよく使われている単語ですが、keep me informed （お知らせください）や let me know　(教えて）などと大体同じ使い方を持っています。

Keep me updated on what is going on in your life
あなたの生活の中で何がおきているか知らせてください。
なにかがあったらその都度連絡ください。

Just call meは直訳すると、「ただ私を呼んで」の意味になります。なにか困っているときや悩んでいるときに、自分に頼って自分に連絡してほしいということを伝えたいときに、よく使われる表現です。
ちなみに、初対面の挨拶のときなど、自分をこう呼んで欲しいということを相手に伝えたいときに、「（名前）と呼んでください」の意味になります。

Just call me when you need anything
なにかあったら、連絡してね。
なにか必要だったら、連絡してね。