贈り物の場合、「引っ越し祝い」という言葉を英訳すると「housewarming gift」という言葉になります。他の場合に「to celebrate his/her moving in」という表現を使っても良いと考えました。「友達に引っ越し祝いとしてマグカップを贈る」という文章を英訳すると「I gave him/her a mug as a housewarming gift.」または「I gave him/her a mug to celebrate his/her moving in.」と言っても良いです。