紙をたたんでポケットにしまう って英語でなんて言うの？

Fold = たたむ、折る The paper = 紙 Origamiはそのまま折り紙！ Put OO in = OOを入れる、 Put OO away = しまう 1)のput it in your pocketの方が自然だと思います。put awayはよくクロゼットとか、タンス、カバンなどに使う言い方です。ポケットの場合は普通の”入れる”の方が使われていると思います！

「折り紙をたたむ」を英訳すると「fold」（たたむ）だけでなく「flatten」（つぶす、フラットにする）とも言えます。折り紙の形を守らなくてフラットにしたり他の形にしたせいで紙がしわだらけになる場合には、そのしわだらけのことを「crumpled」と言えます。