インフルエンザB型にかかった後、A型にもかかったって英語でなんて言うの？

インフルエンザは influenza、または flu で、
「インフルエンザにかかる」の動詞は catch（風邪の場合と同じ）なので、

　catch a/the flu

となります。ただ、

「ワンシーズンに」は、During one flu season （インフルエンザの１つの流行期に）
としたいので、後半は flu を省いて

　caught type B

とする方がいいと思います。

「B型にかかった」を caught the flu type B とすると何度も flu がくりかえされてしまうし、最初に flu season と言っているので、後半は type 〜 とすれば言わなくてもわかります。

「インフルエンザB型にかかった後、A型にもかかった」は英語で"First I suffered from B-type flu and then A-type as well. "で大丈夫です。インフルエンザをfluと言いますが、型はtypeという単語になり、A型はA-typeでA型はA-typeとなります。
ご参考になれば幸いです。