私は普段めったに寝坊しないのに、昨日は寝坊してしまいました。って英語でなんて言うの？

めったに〜しない、は、rarely の他に、seldom + 動詞の原形　や、almost never + 動詞の原形 でもいいと思います。２つ目の文では、あえて「寝坊なんてすることないんだけど」と、never を使ってみました。

oversleep＝寝過ごす、寝坊する

私もどれだけでも寝られるので、朝早く起きないといけない時は恐怖です^^;

I'm feeling sorry
ごめんなさい、申し訳なく思っています

I rarely oversleep but I did and was late for the last lesson.
めったに寝坊しないのに、してしまってレッスンに遅れてしまいました。。

次回のレッスンから日数がすこし立っているのでしたら、状況を説明しつつ
このように「〜してしまい申し訳なかったです」のように表現するのは
いかがでしょうか。