お忙しいところ何度もすみませんって英語でなんて言うの？

I'm sorry to bother you over and over, even though you are busy. 「忙しいにもかかわらず何度もすみません。」

bother: 〜の邪魔をする
over and over: 何度も
I'm sorry to ... = 〜してすみません

ご参考になれば幸いです。

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。

英語圏の言語文化の背景から見れば、「謝る習慣」はあまり存在しないと存じます。ですので、最初から用件を言い出すと、コミュニケーション効率が高くなる、という声が大勢います。

そのため、下記の1番はベストではないかと思います。

１．Thank you (very much) for replying to my continuous emails. I know how busy you are, but do you think you could help me with one more thing?
私の持続的なメールに返信していたき大変感謝申し上げます。
ご多忙な折とは存じますが、もうひとつのことでお手伝いしていただけないでしょうか。

2．I’m very sorry to bother you, but do you think you could help me with XY?
迷惑をおかけするのは大変申し訳ないですが、XYで手伝っていたでけませんでしょうか。

３．Excuse me for taking more of your time. But I still have a question regarding XY and would appreciate it if you could help.
あなたにもっと時間を取らせてしまい申し訳ないですが、またXYについて質問があるのですが。すこし手伝って頂ければ幸いです。

ご参考にしていただければ幸いです。

(1) I’m sorry for the continuous emails.
‘continuous’ ＝「連続した」、「何度も」
「何度もメールをしてしまいすみません」

(2) I apologize in advance for the subsequent questions and emails.
’apologise’ （動詞）=「謝る」「謝罪を述べる」　
’in advance’ = 「事前に」
‘subsequent’ = 「連続した」
「連続した質問に対し、事前にお詫びいたします」という意訳の訳出で、(1)よりも丁寧でかしこまった表現です。

(3) I’m sorry for bothering you with my subsequent emails.
‘bothering’ =「迷惑をかける」「手間をかける」「邪魔をする」
「忙しいところ何度もすみません」