もっと自分に任せてもらいたいって英語でなんて言うの？

Handle=取り扱う
In charge of=〜を担当する
と言う意味ですので
もっと仕事を取り扱いたい
もっと仕事を担当したい
となります。

それかシンプルにもっと仕事を下さい、でも良いですがこの３つの中ですとhandleかin chargeを使う方がフォーマルな感じです。

もっとお仕事を任されると良いですね！

仕事の上司に対しては　Please は避けたほうが安全です。特に責任権限に対しては上司が絶対的な決定権を持っていますので、部下が気軽に口を出すことはありません。
Pleaseは丁寧でありながら、強制力を伴います。
「あなたが～してくださる」とあくまで相手が主体の表現を心がけます。

1. この件についてもっと責任を持たせていただけるとよいのですが。
   ”It would be great if you could + 動詞の原形”　
   →　「もし～なら; よい、うれしい、助かる」

可能性があるかないかわからないので仮定法で聞きます。
- ”let　+ 人　+　動詞の原形”：許可して人に～させる
- have responsibility：　責任を持つ

2. この件について、もっと大きな責任を持たせていただくことは可能でしょうか。
   "I'm wondering if you could+ 動詞の原形”　
   →　「～していただけないでしょうか」
   "delegate + 人": 人に権限を委譲する（責任を持つ）
   この場合は何か起きた時の責任まで追うことになります。

一方で　empower は同じ権限移譲でも、
「好きにやっていいから、責任は私(上司）が取ります」という意味です。

後者のほうが部下としては安心してチャレンジできますね。