犬も歩けば棒に当たるって英語でなんて言うの？

オォー！初めて知りました！

直訳すると1)”the dog who walks finds the bone”. 棒 “stick”じゃなくて、アメリカは犬が骨を探すイメージがあるからです。でも、これは言いません X かっこいい言い方と思いますけど。
2) nothing will change if you do nothing
“あなたは何も行動をしないと何もおきない”
いいことも悪いことも, 何も変わりはない
3) nothing ventured, nothing gained.
ここは2と同じような意味で, ここでventureとはadventure(冒険)という言葉から来ていて、動詞です。gain = 利益、成長、のような意味です。ニュアンスは、冒険しないと、何もリスクのあることをしないと、何も利益を得ない、成長しない。とりあえず行動しよう！

A flying crow always catches something.
（カラスが飛んでいればいつも何かを捕まえる。）

これは日本語の「犬も歩けば〜」と比較的発想が似た英語の諺です。

文字通り読むと「良いこと」の方を意識した表現ですね。

また、crow を含む表現に、as the crow flies（一直線に）というのがあります。

　My house is ten miles from here as the crow flies.
　（私の家はここから10マイルまっすぐ行ったところにある。）

英語ではカラスのイメージの中に「賢い」というのがあるらしいです（→この場合は、ムダに飛ばずに目的地に一直線に行く）。

そのため最初に挙げた表現は、犬がただ歩いていればというのとは微妙に違うかもしれませんが、概ね合っていると思います。

ご参考まで。