stick to one's guns は、もとは兵隊が銃を放さず打ち続けるということですが、「意地を通す、あくまでもがんばる」という意味で使われます。
暗に、「他の人がそうしない方がいいと勧めるのに」という意味を含む場合もありますが、一般に「意地を張る」の意味で使って大丈夫です。
「意地になって勉強する（ムキになって勉強する）」は、 stick to one's guns in study という形にすることができます。
一方、「意地になって食べる（ムキになって食べる）」のは傍から見ると呆れるような姿で、あまりポジティブな意味がないので、「頑固な」という意味を持つ stubborn の方が適当です。
He kept on eating stubbornly.（彼は意地になって食べ続けた）
のように、副詞の形を使って表現できます。
single-mindedlyは、「たった一つ」や「単独」を意味するsingleという形容詞と、「心」や「知性」を意味するmindという名詞の副詞形のmindedlyという二つの単語を組み合わせてできた言葉です。
single-mindedは、一つの目的を達成するために、努力を惜しまずに突き進むことを意味します。 「一途に」「心から」「全身全霊」などのように訳されることが多いです。
Persistent people pursue their goals single-mindedly.
しつこい人はひたすらに自分の目標を追求する。
seriouslyは、「まじめ」「真剣」を意味するseriousという形容詞の副詞形です。
She doesn't take her job too seriously.
彼女はあまり自分の仕事を真剣に考えてない。
passionatelyは、「情熱的｣を意味する形容詞の副詞形です。
He tends to talk very passionately about the things he believes in.
彼は彼が信じるものについて情熱的に語る傾向がある。
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