長めの文章なので、二つに分けました。
①I don't want to tell you my real name.
「本名を教えたくない。」
I don't want to→○○したくない
real name→本当の名前、本名
口語では、I don't want to→I don't wannaと崩して言うとネイティブ風になります。
②Think of a cool nickname for me instead.
「代わりに、クールなあだ名をつけて。」
think of→○○について考える
cool→クールな、カッコいい
nickname→ニックネーム、あだ名
instead→代わりに
もし、相手に「なんで名前を教えたくないの？」と聞かれたら―
"That's just how I am."
"It's just the way I am."
→（別に深い意味はないけれど）自分はそういう人だ、と主張する言い方です。
ご参考まで！
お役に立てれば光栄です。
I’d rather not give my name. You can just call me whatever you like.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I’d rather not give my name. You can just call me whatever you like.
とすると、「名前は教えたくないです。代わりに[好きなように](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/43230/)呼んでください。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
I’d rather not give my name 名前は教えたくない
call me whatever you like 好きなように呼んで
参考になれば幸いです。
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