「名前教えたくないです。代わりに呼び方をお任せします。」って英語でなんて言うの？

長めの文章なので、二つに分けました。

①I don't want to tell you my real name.

「本名を教えたくない。」

I don't want to→○○したくない
real name→本当の名前、本名

口語では、I don't want to→I don't wannaと崩して言うとネイティブ風になります。

②Think of a cool nickname for me instead.

「代わりに、クールなあだ名をつけて。」

think of→○○について考える
cool→クールな、カッコいい
nickname→ニックネーム、あだ名
instead→代わりに

もし、相手に「なんで名前を教えたくないの？」と聞かれたら―

"That's just how I am."
"It's just the way I am."

→（別に深い意味はないけれど）自分はそういう人だ、と主張する言い方です。

ご参考まで！

お役に立てれば光栄です。