私を疑わないでよ!
=be suspicious of A
Aを疑う、不審に思う
シンプルな言い回しです。また”So”をsuspiciousの前に置き、
Don't be so suspicious of me!
とするとこの文章を強調することができます。
「私のことをそんなに疑わないでよ。」
「私を疑わなくても大丈夫だよ。」
don't have to =~する必要がない、~しなくていい、~しなくても大丈夫
この場合don't have toを使うことで、疑わなくてもいいよ(本当のことなのだから疑う必要がない)という意味を意味を含めることができます。