赤ちゃんをあやすって英語でなんて言うの？

全ての赤ちゃんをあやすことを含む一言は to comfort a baby です。遊ぶこととかで、泣かないように対応することですね。

「何をしてあやすの？」と答えるなら、 by をつけて名詞で説明します。

I comforted the baby by playing games. （赤ちゃんと遊ぶ）
I comforted the baby by holding her. （赤ちゃんを抱っこする）
I comforted the baby by rocking her to sleep. (あやして寝かせる)

「赤ちゃんをあやす」は少し英語にしにくい表現ですね！　

Play with a baby
（赤ちゃんと遊ぶ）

Cradle a baby
（赤ちゃんを抱っこする）

Bounce a baby on your knee
（膝の上であやす）

Rock a baby to sleep
（あやして寝かせる）

結局、英語で動きによって違う動詞を使う必要がありますから、一つの「あやす」に相当する動詞がありません。