全ての赤ちゃんをあやすことを含む一言は to comfort a baby です。遊ぶこととかで、泣かないように対応することですね。
「何をしてあやすの?」と答えるなら、 by をつけて名詞で説明します。
I comforted the baby by playing games. (赤ちゃんと遊ぶ)
I comforted the baby by holding her. (赤ちゃんを抱っこする)
I comforted the baby by rocking her to sleep. (あやして寝かせる)
「赤ちゃんをあやす」は少し英語にしにくい表現ですね!
Play with a baby
(赤ちゃんと遊ぶ)
Cradle a baby
(赤ちゃんを抱っこする)
Bounce a baby on your knee
(膝の上であやす)
Rock a baby to sleep
(あやして寝かせる)
結局、英語で動きによって違う動詞を使う必要がありますから、一つの「あやす」に相当する動詞がありません。