Recently, I'm very busy, but I will do my best in the lesson
I'm busy everyday, but I want to give it my all in the English lesson.
Do my best = 頑張る, "my bestをするぞ！"って感じ
Give it my all = 頑張る, "全力でいくぞ！"ってニュアンス
Recently, I'm very busy, but= 最近はとても忙しいが
I'm busy everyday、but= 毎日は忙しいけど
In the lesson / in the English lesson = クラスで/英語の授業で
「英語のレッスンがんばる」を表すフレーズとして、 I'll do my best with my English lessons. があります。このフレーズは、「英語のレッスンを頑張ります」という意味です。
少し変えていうと、 I'll work hard on my English lessons. も使えます。
また、具体的な心境を表現する場合は、 Even though I'm busy every day, I'll make an effort to do my best in my lessons. 「毎日忙しいけど、レッスンを頑張るように努力します。」 という風に伝えることもできます。
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