私はよく鼻が詰まり、鼻声になってしまいます。
鼻声だと私の発音が先生に聞き取りにくいと思います。
先生には丁寧な言い方で話したいです。
説明をする代わりに単純にExcuse meと言って席を外すのが失礼のない行為だと思います。
理由を伝えるのであれば、以下のように言うことができます。
I'm sick and I need to blow my nose.(風邪を引いていて鼻をかまなければなりません)
何度も席を外すようであれば、I'm sorry but I'm sick-のように謝るとよいかもしれません。