裁判を起こすって英語でなんて言うの？

"lawsuit"は、省略して"suit"という言い方もします。

例：
We are going to file a lawsuit.
私たちは裁判を起こします。

また、"Go to court"は直訳すると、「裁判所に行く」になってしまいますが、
英語のイディオムで「訴訟を起こす」という意味になります。

例：
We are going to go to court with this.
この件について、私たちは訴訟を起こします。

損害賠償請求等を想定されてるので、「民事訴訟」を提起するという表現にしてみました。
野村さんもおっしゃっているようにlawsuitはsuitと略されますので
略した形にしてみましたが、もちろんfiling a civil lawsuitでも同じ意味です。

民事 civil
刑事 criminal

何か役所に書類を提出するってニュアンスのときに
「file」という単語はよく使われます。

go to court
file a lawsuit

上記のように英語で表現することもできます。
いずれも「裁判を起こす」という意味の英語表現です。

例：
He is seriously thinking about filing a lawsuit.
彼は裁判を起こすことを真剣に検討しています。

お役に立てればうれしいです。
またいつでもご質問ください。