1.) How should I call you?.「あなたの事、なんて呼んだらいいの？」
まず、相手に直接どう呼んだらいいかを聞く場合は*how: どのようにという単語を使って"How should(can) I call you?"と聞いて頂くのが一番シンプルです。
2.) How should I call her/him?
この文は上記にもありました同じタイプのフレーズ"How should I ~"を使って質問にありました、その場にいない人（彼女/彼）の名前の呼び方を聞く場合は”How should I call her/him?”と聞くことが出来ます。
3.) What is her name?
この文は直訳すると「彼女の名前は？」となります。上記2文は呼び方を聞いているのに対し、この文はシンプルに「彼女の名前を教えてください」とその場にいない人（第三者）の名前を聞くことのできる文章です。
その場にいない人のことをどのようなあだ名で呼んだらいいのか聞きたいのであれば、
What should I call her? で合っていると思います！
特定の呼び方を尋ねているので what で大丈夫です。
ただ、質問的に「そんなの自分で好きなように呼べばいいじゃん」と思われる可能性もあるかもしれません。
なので、
What does everyone call her?
彼女はみんなになんて呼ばれているの？
Does she have a nickname?
彼女のニックネームはあるの？
というような質問の方が自然かもしれません。
日本 
