"appease"は元々"peace"から来て、「[平和](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/27057/)にする」という意味があります。（「要求を満たす」など他の意味も持っています）
"It makes me feel at peace"はほぼ同じ意味です。つまり、平和な気持ちになるということです。
"to calm down"は「[落ち着く](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/6859/)」という意味で、"it calms me down"は「落ち着かせる」という意味です。
例：
This photo calms me down.
この写真を見ると落ち着きます。
calm someone down = 誰々を落ち着かせる = 誰々を癒す
"cure" も"heal"も『([病気](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31156/)や怪我を)癒す』という意味の動詞です。『心が[和む](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/118292/)』の意味なら、"relax(楽にさせる)" "calm down (気持ちを落ち着かせる)"です。
心が落ち着いて和む感じ又は「癒される」の事は英語で「feel calm」、「feel relaxed」や「feel at ease」という表現で表すことができます。
だから、「私は動物と触れ合うととても癒されます」
→「I feel calm when I come into contact with animals」
→「I feel relaxed when I come into contact with animals」
→「I feel at ease when I come into contact with animals」
例文：
「子供の笑顔をみると癒されます」
→「I feel at ease when I see a child’s smiling face」
「朝にコーヒーを飲むと癒されます」
→「I feel relaxed when I drink a coffee in the morning」
ご参考になれば幸いです。
"Spending time with my dog relaxes me."
→愛犬といるとリラックスできます（癒やされます）。
「癒やされる」はいろいろな言い方ができます。
「癒やされる」をどのように訳すかは文脈によると思います。
上記の例文では「relax」を使って「癒やされる」を表しました。
「relax」は「リラックスさせる、くつろがせる」という意味です。
ご質問ありがとうございました。
こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：
・makes me feel relaxed
feel relaxed は「リラックスした気持ちになる」という意味の英語表現です。
例：
Playing with my pet dog makes me feel relaxed.
ペットの犬と遊ぶと癒されます。
ぜひ参考にしてください。
以下のように表現することができます。
makes me feel happy
幸せな気持ちにさせてくれる
＝癒してくれる
make me ... で「私を〜にする」を英語で表現することができます。
ここでは make(s) me feel happy で「幸せな気持ちにさせてくれる」となります。
お役に立てれば嬉しいです。
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