休日診療所って英語でなんて言うの？

命にかかわるような重症の患者が行く場所はemergency room、そこまで重症ではないけれど平日まで待てないような場合に行く場所はurgent careと呼ばれています。
（アメリカの話なので、場所によって違うかもしれません）
主治医の予約がすぐに取れない場合にもurgent careに行くことを勧められることがあります。

単に「休日にあいている診療所」という言い方でいいのではないかと思います。

英語は日本語よりも熟語と熟語を組み合わせて１つの新しい言葉にするということが案外ないように思います。普通に動詞なども交えて説明してしまうことが多いです。仮にそれを指す特別な単語が別にあるとしても、一般的に知られてないと結局会話文で使いませんので…。ネイティブと会話するとは限りませんから。

よく現地でも「◯◯◯◯ってなんて言うの？」というと結構な確率で自分が思っていたよりもシンプルな返事が返ってきたりします。

話が少し脱線してしまいましたが、参考になれば。