この書類に記入して頂きたいのですが、って英語でなんて言うの？

この　fill out というのは「書き込む」という意味になります。
form　＝用紙　です。

すでにフォーマットができていて、必要事項を書き込むときは
このように言うのが一般的です。

さらに、「もれなく書き込む」ならば最後にcompletely などをつけて
Could you fill out this form completely?

「ペンで」でしたら、
Could you fill out this form with a pen?

など、細かい修飾をつけます。

ご参考になりましたら幸いです。

ご質問ありがとうございます。

私の住むオーストラリアでは、大半の書類がテンプレートになっていますので、記入するのは署名部分くらいしかない場合がほとんどです。

そんな時には、"Could you please sign this form."/「この書類に署名をお願いします。」と表現します。

お役に立てれば幸いです。