鼻が出たので、鼻をかみたいですって英語でなんて言うの？

「鼻が出る」＝「Have a runny nose」とか「My nose is running」と言ったりします。"running"はもちろん「走る」「流れる」という意味がありますが、「鼻水が流れる、垂れる」という所から"runny nose"という表現を使います。

「鼻をかむ」＝"Blow my nose"
あの「吹く」「吹かれる」と同じ意味の "blow"を使います。

ちなみに「鼻づまり」は "stuffy nose"　です。
「鼻水」と直訳して "nose water"とは言いませんのでご注意ください！

ぐすぐすいう鼻は、runny noseといいます。鼻水がとまらない、という表現はMy nose is runningになります。鼻水をすする行為は、欧米では大変悪いマナーとみなされますので、鼻をかまなくちゃ！I have to blow my nose!という表現を使ってもいいと思います。大きな音をたてて鼻をかむことは決していいマナーとはいえませんので、できれば席を外したり、後ろを向いてかんだりしたいものですね。

おっしゃっている内容は、他のアンカーの方の回答とかぶりますが、以下のように表現できると思いました(^_^)
My nose is running, so I want to blow my nose.
「鼻水が出ているので、鼻をかみたい」

追加で類例を挙げます。
He blew his nose.
「彼は鼻をかんだ」
Your nose is running.
「鼻水出てるよ」
Why don't you blow your nose?
「鼻かんだらどうなの？」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師　KOGACHI