★Take care of (someone)
ニュアンスは「[世話をする](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55245/)」に近いです。
病人の世話をする、もしくは[病気](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31156/)でなくても、誰かの世話をするときに使います。
例：I have an urgent business trip. Can you take care of my dog while I'm gone?
★Look after (someone)
このフレーズも「世話をする」に近いです。
例：My mom is sick so I need to look after her.
Can you look after my son while I go shopping?
★Nurse (someone) back to health
このフレーズが一番「看病する」に近いです。
「病気の人」にしか使いません。
「健康になるまで看病する」という意味合いがあります。
例：My brother has the flu. I will stay home and nurse him back to health.
"take care of someone" "look after someone"どちらも「[世話をする](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55245/)」という日本語が合いますが、
"take care of someone"は対処するという意味合いなので、一時的だったり、今回の質問のように一時看病するというイメージが強いかと思います。
"look after someone"はそれよりも長い期間のことだったり、生活面のことを習慣的にお世話してあげるというようなニュアンスのときに使うことが多いです。
例えば下記のような英語表現はいかがでしょうか：
・take care of someone
・look after someone
どちらも「看病する」というニュアンスを持つ英語表現です。
シンプルですが使いやすい英語フレーズだと思います。
例：
Thank you so much for taking care of me when I was sick.
私が病気のとき、看病してくれてありがとうございます。
お役に立てれば嬉しいです。
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