社内恋愛って英語でなんて言うの？

こっそりなニュアンスであれば、”a secret office romance”です。

colleague　も coworker も　仕事の同僚という意味ですが、colleagueの方は専門職の人たちが使うことが多いです。
そういう仕事の同僚と付き合う＝社内恋愛というわけです。
（英語のdateは「付き合っている」という意味の動詞です。see やgoing out もそういう意味で使うことがあります）

「社内恋愛」をググってみるとoffice romanceもしくはworkplace romanceが頻出します。
workplaceは広い意味での職場、officeは会社の事務所です。

ちなみにOffice (love) affairは社内恋愛でも「不倫」関係のことを指します。